CÁLCULO NUMÉRICO Y SU EXPRESIÓN EN
LOS RESULTADOS DE LAS MEDICIONES
Notación científica de un número.
La notación científica
representa un número utilizando potencias de base diez. El número se escribe
como un producto
A · 10 n
Siendo A un número mayor o igual
que uno y menor que 10, y n un número entero. La notación
científica se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy
pequeños. También es muy útil para escribir las cantidades físicas pues solo
se escriben en notación científica los dígitos significativos.
Un número en notación
científica se expresa de manera que contenga un dígito (el más significativo)
en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán después del separador
decimal multiplicado por el exponente respectivo.
Ejemplos:
· Distancia media Tierra-Luna = 384.000.000 m
· Distancia media Tierra-Luna = 3,84 · 10 8 m
(tres cifras significativas)
· Radio del átomo de hidrógeno = 0,000000000053 m
· Radio del átomo de hidrógeno = 5,3 · 10 -11 m
(dos cifras significativas)
· Velocidad de la luz en el vacío = 299.792,458 km/s
· Velocidad de la luz en el vacío = 2,99792458 · 10 8 km/s
(9 cifras significativas)
· G = 0,000000000066742 N·m2/kg2
· G = 6,6742 · 10 -11 N·m2/kg2 (5
cifras significativas)
Cifras
significativas. Definición.
Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado
real y, por tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es
inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo
sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada
en milímetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como:
Longitud
(L) = 85,2 cm
No es
esta la única manera de expresar el resultado, pues también puede ser:
L = 0,852 m L = 8,52 dm L = 852 mm etc…
Se
exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son
los dígitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definición
pues tienen un significado real y aportan información. Así, un resultado como
L
= 0,8520 m
Reglas para establecer las cifras significativas de
un número dado.
Regla 1. En números que no
contienen ceros, todos los dígitos son significativos.
Por ejemplo:
3,14159 → seis cifras
significativas → 3,14159
5.694 → cuatro cifras significativas
→ 5.694
Regla 2. Todos los ceros
entre dígitos significativos son significativos.
Por ejemplo:
2,054 → cuatro cifras
significativas → 2,054
|
506 → tres cifras
significativas → 506
|
Regla 3. Los ceros a la
izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la
posición del punto decimal y no son significativos.
Por ejemplo:
0,054 → dos cifras
significativas → 0,054
|
0,0002604 → cuatro cifras significativas →
0,0002604
|
Regla 4. En un número
con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son
significativos.
Por ejemplo: 0,0540 → tres cifras
significativas → 0,0540
30,00
→ cuatro cifras significativas → 30,00
Regla 5. Si un número no
tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no
significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas,
se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente
expresar el número en notación científica, no obstante, también se
suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal
solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son
significativos.
Por ejemplo:
1200 → dos cifras
significativas → 1200
|
1200, → cuatro cifras
significativas → 1200,
|
Regla 6. Los números exactos
tienen un número infinito de cifras significativas.
Los números exactos son
aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un número
pequeño de elementos. Ejemplos:
- Al
contar el número de átomos en una molécula de agua obtenemos un número exacto:
3.
- Al
contar las caras de un dado obtenemos un número exacto: 6.
- Por
definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto:
1000.
- Por definición el
número de grados que hay en una circunferencia es un número exacto: 360
Cifras
significativas en cálculos numéricos.
Cuando se realizan cálculos aritméticos con dos o más números se debe tener
cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el
número de dígitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los números
con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan
medido, no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre
mientras que se realizan operaciones aritméticas con dichos números.
Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicación intenta
cumplir con esta condición aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres
situaciones: realización de sumas y diferencias; productos y cocientes;
logaritmos y antilogaritmos.
Cifras significativas en sumas y diferencias
Regla
7. En una suma o una resta el número de dígitos del resultado viene
marcado por la posición del menor dígito común de todos los números que se
suman o se restan.
Por tanto, en una adición o una sustracción el número de cifras significativas
de los números que se suman o se restan no es el criterio para establecer el
número de cifras significativas del resultado.
Por ejemplo:
(a) 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 ≌ 11,6
(b) 34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 ≌
67
(c) 34,6 + 17,8 + 15,7 ≌
68,1
En los ejemplos (a) y (c) el menor dígito
común a los sumandos es la décima (primer decimal), por tanto el resultado debe
venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo (b) el
menor dígito común a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado
debe venir expresado hasta la unidad.
Cifras significativas en productos y cocientes
Regla
8. En un producto o una división el resultado debe redondearse de
manera que contenga el mismo número de dígitos significativos que el número de
origen que posea menor número de dígitos significativos.
Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicación o la
división el número de dígitos significativos de las cantidades que intervienen
en la operación sí es el criterio a la hora de determinar el número de dígitos
significativos del resultado.
Por ejemplo:
(a)
(b)
(c)
En los tres
ejemplos expuestos el menor número de cifras significativas de los diferentes
factores que intervienen en las operaciones es dos: se trata concretamente del
número 24 en los ejemplos (a) y(b) y del número
0,25 en el ejemplo (c). Por tanto los resultados se deben redondear
a dos cifras significativas.
MEDIDA DE MAGNITUDES
TEORÍA
DE ERRORES
Se
debe tener muy en cuenta que, cuando se realiza una medición de la magnitud de
una cantidad física, es imposible que el resultado de esta medición sea exacto.
Es necesario incluir una incertidumbre o error debido a imperfecciones del
instrumento (error sistemático, puede ser controlado), o a limitaciones del
medidor (error aleatorio, no puede controlarse, es fruto del azar).
Cuantificación del error o
incertidumbre en las mediciones:
a. Error
absoluto.
Si se realiza una única medida, la cantidad leída se expresa con un error o
incertidumbre absoluta que es igual a la precisión del instrumento de medida
utilizado.
b. Error
relativo.
Si se realiza una única medida, el error relativo es el cociente entre el error
absoluto y el valor de la medida. La incertidumbre relativa se expresa
generalmente en un porcentaje.
A
continuación, veremos algunos ejemplos donde se considerarán los errores
absoluto y relativo.
Ejemplo 1. Si medimos el largo de una
varilla con una regla graduada en centímetros, tal cual se muestra en la
figura:
Cuando se dan los resultados de una medición,
es importante establecer la incertidumbre estimada en la medición. Por ejemplo,
el largo de la varilla se puede escribir como:
Donde el
(“más o menos 0,5 cm”) representa la
incertidumbre estimada en la medición (es la mitad de la escala más fina del
instrumento). En la regla mostrada la última división es de 1cm, entonces la
incertidumbre será 0,5cm. De modo que la longitud real de la varilla se
encontrará más probablemente entre 21 cm y 22 cm.
Además:
Valor medido
= 21,5 cm
Error
absoluto = 0,5 cm
Error
relativo =
Error
relativo porcentual=
Ejemplo 2. Si midiéramos el tiempo que demora en caer una canica (pequeña
bola de cristal) desde una altura de un metro con un cronómetro y se registrara
el valor obtenido, el error absoluto sería:
Nota: una persona con buenos reflejos y
“entrenada” tiene un tiempo de reacción de 0,10 de segundo, aproximadamente,
pero el tiempo de reacción de la mayoría de las personas “no entrenadas” es de
0,20 segundos.
Con respecto al error relativo, este sería:
Cálculos con datos experimentales.
La estadística es muy importante en la Ciencias
Experimentales. Toda experiencia debería tener detrás un estudio estadístico
que nos indique cuantos datos debemos tomar y cómo tratarlos una vez realizada
la misma.
Como se trata de iniciarte en las Ciencias
Experimentales, las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos
experimentales son las siguientes:
- Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar
neutralizar el error accidental.
- Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media
aritmética simple de los resultados.
- El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una
de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
- El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma
dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).
Ejemplo. Medidas de tiempo de un
recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
- Valor que se considera exacto:
- Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas
|
Errores absolutos
|
Errores relativos
|
3,01 s
|
3,01 - 3,12 = -
0,11 s
|
-0,11 / 3,12 = -
0,036 (- 3,6%)
|
3,11 s
|
3,11 -3,12 = -
0,01 s
|
-0,01 / 3,12 = -
0,003 (- 0,3%)
|
3,20 s
|
3,20 -3,12 = +
0,08 s
|
+0,08 / 3,12 = +
0,026 (+ 2,6%)
|
3,15 s
|
3,15 - 3,12 = +
0,03 s
|
+0,03 / 3,12 = +
0,010 (+ 1,0%)
|
SISTEMA
INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I)
Fue
establecido en su versión completa en octubre de 1971 por la conferencia
general de pesas y medidas, para ser usado en todas la ramas de la ciencias y técnicas
como único sistema.
El
S.I. se clasifica en las siguientes clases:
·
Unidades Fundamentales o de base
·
Unidades derivadas.
·
Unidades suplementarias
1. Unidades Fundamentales:
Sirve
como base para formar otras unidades el S.I. se constituye sobre la base de un
conjunto de unidades fundamentales que son:
MAGNITUD
FÍSICA
|
UNIDADES
|
SÍMBOLO
|
Longitud
Tiempo
Masa
Intensidad de corriente eléctrica
Temperatura termodinámica
Intensidad luminosa
Cantidad de sustancia
|
metro
segundo
kilogramo
ampere
kelvin
candela
mol
|
m
s
kg
A
K
cd
mol
|
2. Unidades suplementarias
Son
unidades geométricas
MAGNITUD
FÍSICA
|
UNIDADES
|
SÍMBOLO
|
Ángulo Plano
Ángulo Sólido
|
Radian
Estereoradian
|
rd
sr
|
3.
Unidades
derivadas.
A
partir de las unidades fundamentales, es posible obtener unidades para un gran
número de otras magnitudes. A continuación tenemos algunas de ellas:
MAGNITUD
|
UNIDAD
|
SÍMBOLO
|
Area
Volumen
Velocidad
Densidad
Frecuencia
Fuerza
Energía, trabajo, calor
Potencia
Carga eléctrica
Diferencia de potencial
Resistencia eléctrica
|
metro cuadrado
metro cúbico
metro por segundo
kilogramos por metro cúbico
hertz
newton
joule
watt
coulomb
voltio
ohm
|
m2
m3
m/s
kg/m3
Hz
N
J
W
C
V
W
|
MULTIPLOS
DE LAS UNIDADES
FACTOR
|
NOMBRE
DEL VALOR NUMÉRICO
|
PREFIJO
|
SÍMBOLO
|
1012
109
106
103
102
101
|
Billón
Mil millones
Millón
Mil
Cien
Diez
|
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hecto
Deca
|
T
G
M
K
H
Da
|
SUB
MULTIPLOS DE LAS UNIDADES
FACTOR
|
NOMBRE
DEL VALOR NUMÉRICO
|
PREFIJO
|
SÍMBOLO
|
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
|
décima
centésima
milésima
millonésima
mil millonésimas
billonésimas
mil billonésimas
trillonésima
|
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
|
d
c
m
m
n
p
f
a
|
¿CÓMO USAMOS LOS PREFIJOS?
El prefijo se agrega antecediendo al nombre de la
unidad, al igual que al símbolo de la unidad. Por ejemplo:
Si al segundo le agregamos el prefijo mega, el
nombre de la unidad sería:
Megasegundo
y el símbolo: Ms
Si deseamos expresar en función de la respectiva
unidad, usamos los factores, de la siguiente manera:
Del ejemplo anterior: El factor del Mega es 106, entonces tenemos la equivalencia:
1 Ms = 106 s, reemplazamos
M por 106
NORMAS Y RECOMENDACIONES ACERCA DE LA
ESCRITURA DE UNIDADES
·
Las unidades
derivadas que se obtienen como productos cocientes de otras unidades
Ejemplo:
Unidad
de velocidad m/s ó m.s-1
Unidad
de densidad kg/m3 ó kg.m-3
Watt hora Wh ó W.h
Kilowatt
hora Kwh ó Kw.h
Pascal
segundo Pas ó Pa.s
·
El nombre de las
unidades se escribe con minúsculas. Ejemplo metros, newton, segundo, etc.
·
El símbolo si no
deriva de un nombre propio (persona se utiliza letras minúsculas. Ejm: m, kg,
s, etc.)
·
Si el símbolo
deriva de un nombre propio, se usa letras mayúsculas para la primara letra Ejm.
newton (N), joule (J), hertz (Hz), kelvin (K), coulomb (C), etc.
·
Los símbolos no
van seguidos de puntos. Ejm:
Incorrecto Correcto
80s. 80 s
12 mm. 12mm
PRINCIPALES EQUIVALENCIAS
Longitud Masa
1m
= 10dm = 102cm = 103mm 1
kg = 103g = 1,2lb (2,2 libras)
1pul
= 2,54cm 1lb = 16onz (Onza) = 453,6g
1m
= 3,28 pie 1 tonelada métrica = 1000kg = 2200lb
1angstrom (1ªº) 10-8cm
= 10-10m 1 onz = 28,35g
1
micra = 10-4cm = 10-6m 1 uma = 1,6 x 10-24g = 1 u
Volumen y Capacidad
1m3
= 103dm3 = 105cm3 = 108cm3
1
(litro) = 103ml = 10dm3 = 103dm3
1
ml = 1cm3
1 galón USA =
37,851 = 4 cuartos
1 galón Perú =
4,1
REGLAS INTERNACIONALES DE REDONDEOS DE NÚMEROS
Con frecuencia los números que surgen del
procesamiento de datos experimentales contienen un número de cifras mayor que
el de las verdaderamente significativas. En estos casos es necesario redondear
tales números a fin de arribar a un resultado con el número correcto de cifras
significativas.
Para ello es necesario el uso de las
siguientes reglas, aceptadas internacionalmente:
Si el dígito a la derecha del último requerido
es:
1) Menor que 5, se deja el dígito precedente
intacto.
2) Mayor que 5, se aumenta una unidad el
dígito precedente.
3) Un 5 seguido de cualquier dígito diferente
de cero, se aumenta una unidad el dígito precedente.
4) Un 5 no seguido de dígitos, se deja el
dígito precedente sin cambiar si es par, y se aumenta una unidad si es impar,
de modo que siempre termine en par.
Ejemplos:
Supongamos que se desea redondear los
siguientes números a tres cifras
significativas:
a) 4,123 ⇒ Regla 1: Si el dígito a la derecha
del último requerido es menor que 5, se deja el dígito precedente intacto.
Respuesta: 4,12
b) 8,627 ⇒ Regla 2: Si el dígito a la derecha
del último requerido es mayor que 5, se aumenta una unidad el dígito
precedente. Respuesta: 8,63
c) 9,4252 ⇒ Regla 3: Si el dígito a la derecha
del último requerido es un 5 seguido de cualquier dígito diferente de cero, se
aumenta una unidad el dígito precedente. Respuesta: 9,43
d) 7,385 ⇒ Regla 4: Si el dígito a la derecha
del último requerido es un 5 no seguido de dígitos, se deja el dígito
precedente sin cambiar si es par... Respuesta: 7,38
e) 6,275 ⇒ Regla 4: Si el dígito a la derecha
del último requerido es un 5 no seguido de dígitos..., se aumenta el dígito
precedente una unidad si es impar. Respuesta: 6,28
